Hur hittar man derivatet?

Problemet med att hitta ett derivat av en given funktionär en av huvudkurserna i matematik i gymnasiet och på högre utbildning. Det är omöjligt att fullständigt undersöka en funktion, för att konstruera sin graf utan att ta dess derivat. Derivaten av en funktion kan lätt hittas genom att känna till de grundläggande reglerna för differentiering, liksom tabellen över derivat av de grundläggande funktionerna. Låt oss ta reda på hur man hittar derivaten av en funktion.

En derivatfunktion är gränsen för förhållandet mellan ökningen av en funktion och ökningen av argumentet, när ökningen av argumentet tenderar att vara noll.

Det är ganska svårt att förstå denna definition, eftersomBegreppet gräns är inte helt studerat i skolan. Men för att hitta derivaten av olika funktioner är det inte nödvändigt att förstå definitionen, låt oss lämna den till matematikerens specialister och gå direkt till att hitta derivaten.

Processen att hitta ett derivat kallas differentiering. När funktionen differentieras får vi en ny funktion.

För deras beteckningar använder vi latinska bokstäverna f, g, etc.

Det finns många olika noteringar för derivat. Vi kommer att använda stroke. G betyder exempelvis att vi kommer att hitta derivatet av g.

Tabellen över derivat

För att svara på frågan hur man hittarderivat, är det nödvändigt att ta med tabellen över derivat av de grundläggande funktionerna. För att beräkna derivaten av elementära funktioner är det inte nödvändigt att utföra komplexa beräkningar. Det räcker bara för att se sitt värde i derivat tabellen.

1. C "= 0
2. (sin x) "= cos x
3. (cos x) "= -in i x
4. (xⁿ) "= n x^n-1
5. (e^x) "= e^x
6. (ln x) "= 1 / x
7. (a^x) "= a^xln a
8. (log_enx) "= 1 / x ln a
9. (tan x) "= 1 / cos²x
10. (ctg x) "= - 1 / sin²x
11. (arcsin x) "= 1 / √ (1-x²)
12. (arccos x) "= - 1 / √ (1-x²)
13. (arctg x) "= 1 / (1 + x²)
14. (arcctg x) "= - 1 / (1 + x²)

Exempel 1. Hitta derivatet av funktionen y = 500.

Vi ser att detta är en konstant. Enligt tabellen över derivat är det känt att derivatet av konstanten är noll (formel 1).

(500) "= 0

Exempel 2. Hitta derivatet av funktionen y = x¹⁰⁰.

Detta är en effektfunktion i exponenten av vilken 100 och för att hitta dess derivat måste man multiplicera funktionen av exponent och minska med 1 (formel 3).

(x¹⁰⁰) "= 100 x⁹⁹

Exempel 3. Hitta derivatet av funktionen y = 5^x

Detta är en exponentiell funktion, vi beräknar dess derivat med formeln 4.

(5^x) "= 5^xLN5

Exempel 4. Hitta derivaten av funktionen y = loggen₄x

Logaritmens derivat återfinns från formeln 7.

(log₄x) "= 1 / x ln 4

Differentieringsregler

Låt oss nu räkna ut hur man hittarFunktionens derivat, om det inte finns i tabellen. De flesta av de studerade funktionerna är inte elementära men är kombinationer av elementära funktioner med hjälp av de enklaste operationerna (addition, subtraktion, multiplikation, delning och multiplikation med ett tal). För att hitta deras derivat måste man känna till reglerna för differentiering. Vidare betecknar bokstäverna f och g funktionerna, och C är en konstant.

1. Den konstanta koefficienten kan tas som ett tecken på derivatet

(Cf) "= Cf"

Exempel 5. Hitta derivatet av funktionen y = 6 * x⁸

Vi tar den konstanta koefficienten 6 och skiljer endast x⁴. Detta är en effektfunktion, vars derivat hittas från formel 3 i derivat tabellen.

(6 * x⁸) "= 6 * (x⁸) "= 6 * 8 * x⁷= 48 * x⁷

2. Derivatet av en summa är lika med summan av derivaten

därefter:

(f + g) "= f" + g "

Exempel 6. Hitta derivatet av funktionen y = x¹⁰⁰+ sin x

Funktionen är summan av två funktioner vars derivat kan hittas från tabellen. Sedan (x¹⁰⁰) "= 100 x⁹⁹ och (sin x) "= cos x. Derivatet av summan kommer att vara lika med summan av dessa derivat:

(x¹⁰⁰+ sin x) "= 100 x⁹⁹+ cos x

3. Derivatet av skillnaden är lika med skillnaden mellan derivaten

(f - g) "= f" - g "

Exempel 7. Hitta derivatet av funktionen y = x¹⁰⁰ - cos x

Denna funktion är skillnaden mellan tvåfunktioner vars derivat vi också kan hitta från bordet. Därefter är derivatet av skillnaden lika med skillnaden mellan derivaten och vi kommer inte glömma att ändra tecknet, eftersom (cos x) "= - sin x.

(x¹⁰⁰ - cos x) "= 100 x⁹⁹ + sin x

Exempel 8. Hitta derivatet av funktionen y = e^x+ tg x-x².

I denna funktion finns summa och skillnad, vi hittar derivaten av varje term:

(e^x) "= e^x, (tgx) "= 1 / cos²x, (x²) "= 2. Då är derivaten för den ursprungliga funktionen lika med:

(e^x+ tg x-x²) "= e^x+ 1 / cos²x -2 x

4. Derivat av ett arbete

(f * g) "= f" * g + f * g "

Exempel 9. Hitta derivatet av funktionen y = cos x * e^x

För att göra detta finner vi först derivaten av varje faktor (cos x) "= - sin x och (e^x) "= e^x. Nu ska vi ersätta allt i produktformeln. Vi multiplicerar derivatet av den första funktionen genom det andra och lägger till produkten av den första funktionen till derivaten av den andra.

(cos x * e^x) "= e^xcos x - e^x* sin x

5. Derivat av en viss

därefter:

(f / g) "= f" * g - f * g "/ g²

Exempel 10. Hitta derivatet av funktionen y = x⁵⁰/ sin x

För att hitta derivatan av det privata, först hitta derivatan av täljare och nämnare för sig: (x⁵⁰) "= 50 x⁴⁹ och (sin x) "= cos x. Genom att ersätta kvotens derivat i formeln får vi:

(x⁵⁰/ sin x) "= 50x⁴⁹* sin x - x⁵⁰* cos x / sin²x

Derivat av en komplex funktion

En komplex funktion är en funktion som representeras av sammansättningen av flera funktioner. För att hitta derivat av en komplex funktion finns också en regel:

(u (v)) "= u" (v) * v "

Låt oss ta reda på hur man hittar derivaten av en sådan funktion. Låt y = u (v (x)) vara en komplex funktion. Vi kallar funktionen du extern, och v - intern.

Till exempel:

y = sin (x³) är en komplex funktion.

Då är y = sin (t) en yttre funktion

t = x³ - internt.

Låt oss försöka beräkna derivatet av denna funktion. Med formeln är det nödvändigt att multiplicera derivaten av de interna och externa funktionerna.

(sin t) "= cos (t) är derivatet av den externa funktionen (där t = x³)

(x³) "= 3x² är derivat av den inre funktionen

Då (sin (x³)) "= cos (x³) * 3x²är derivatet av en sammansatt funktion.