Hur hittar man en diagonal av en trapezoid?

Innan du räknar ut hur man hittar en diagonalTrapezium, kom ihåg vad en trapezium. I planimetri är en trapezoid en fyrsidig med två motsatta sidor parallella med varandra. Dessa parallella sidor kallas trapesformens baser, och de andra kallas sidosidorna. Sidorna kan vara desamma, då handlar vi om en likadana trapezoid.

I det följande, låt oss undersöka i detalj ordningen att hitta längdendiagonaler för det allmänna fallet av ett icke-isosceles trapezium. Vi kommer att fortsätta från det faktum att de ursprungliga uppgifterna är längderna på alla fyra sidorna av trapezoiden, vinklarna vid basen är okända.

Beräkning av trapeziumdiagonalen

I den trapesformiga ABCD som visas i figuren finns två diagonaler AC och BD. Ordningen att hitta längden är densamma, så överväga allt på exemplet att hitta diagonal BD, mittemot ˂BAD.

Diagonal BD är samtidigt sidan av triangeln ABD och kan beräknas med cosinus teorem med hjälp av formeln:

BD = √ (AB²+ AD²-2AB^.AD^.cos ˂ BAD)

I denna formel vet vi alla kvantiteter utomcosinus ˂ BAD. För att beräkna det måste vi utföra en liten bildkonvertering. "Klipp ut" rektangeln BNMC från den ursprungliga trapezoiden. Som ett resultat får vi en triangel ABD ", där sidan BD" är lika med sidan av den trapeziska cd-skivan.

˂BAD "i triangeln är ˂BAD i trapezoiden, såEftersom vi inte utför några transformationer med triangeln ABN. Så i denna triangel ABD "är sidan AB känd för oss, sidan BD" = CD, och sidan AD "= AD - NM = AD - BC.

Det visar sig att cosinus-teorin cos ˂BAD = cos ˂BAD "= (AB² + AD "² - BD "²) / 2AB^.AD "= (AB² + (AD-BC)² - CD²) / 2AB^.(AD - BC)

Genom att ersätta detta uttryck i formeln som hittades tidigare får vi:

BD = √ (AB²+ AD²-2AB^.AD^.cos ˂BAD) = √ (AB²+ AD²-2AB^.AD^.(AB² + (AD-BC)² - CD²) / 2AB^.(AD - BC)) = √ (AB² + AD² - AD^.(AB² + (AD-BC)² - CD²) / (AD - BC)) = √ (AB² + AD² - AD^.(AD - BC)²/ (AD - BC) - AD^.(AB² - CD²) / (AD - BC)) = √ (AB² + AD² - AD² + AD^.BC - AD^.(AB² - CD²) / (AD - BC)) = √ (AB² + AD^.BC - AD^.(AB² - CD²) / (AD-BC))

BD = √ (AB² + AD^.BC - AD^.(AB² - CD²) / (AD-BC))

Formeln erhållen för trapezoidets diagonala är giltig för alla värden av längden på sidorna av den ursprungliga fyrkanten.

För den andra diagonalen kommer formeln följaktligen att ta formen:

AC = √ (CD² + AD^.BC - AD^.(CD² - AB²) / (AD-BC))

Diagonal av en isosceles trapezoid

Om du är intresserad av hur du hittar diagonalen av en isosceles trapets, kan den resulterande formeln förenklas mycket. När allt kommer omkring, i ett isosceles trapez AB = CD, därmed AB² - CD² = 0 och formeln för längden på diagonalen reduceras till formuläret:

BD = √ (AB² + AD^.BC)

Diagonalerna av en isosceles trapezoid är lika med varandra, så den andra diagonalen finns med samma formel.

I händelse av att de ursprungliga uppgifterna ärlängden på trapezibaserna, en av sidorna och vinklarna vid basen, reduceras problemet med att hitta diagonalen av trapeziden för att beräkna sidan av triangeln genom cosinus teorem.